Chủ nghĩa Marx và Toán học

Sau đây là bản dịch bài báo Marxism and mathematics của K. K. Theckedath đăng trên Social Scientist, tháng 1/1973. Nội dung bài báo bàn về cách chủ nghĩa Marx có thể áp dụng vào việc nghiên cứu cơ sở toán học. Trong bài viết có nhiều chi tiết thú vị, mô tả cách mà cơ sở hạng tầng quy định kiến trúc thượng tầng, trong đó toán học thuộc vào kiến trúc thượng tầng. Vì thế, bài viết là một tài liệu tham khảo cho những độc giả yêu toán cũng như triết học Marx-Lênin. Tuy vậy, bài báo này cũng khá cũ rồi, và gần đây có cuốn sách Phân tích triết học bản chất của tri thức toán học của PGS. TS. Vũ Văn Viện, phát hành bởi NXB Chính trị quốc gia - Sự thật. Đây là một cuốn sách rất phong phú về nội dung  và rất hữu ích cho những ai quan tâm tới toán học.

MẶC DÙ chủ nghĩa Marx được thừa nhận là công cụ mạnh mẽ trong việc khảo sát các hiện tượng xã hội, nhưng ứng dụng của nó vào các khoa học vật lý bị nhiều người coi như là một ví dụ về việc lắp ráp hiện tượng sao cho khớp với quá khứ. Sự hoài nghi diễn ra trong hoàn cảnh những người cổ vũ nhất cho phương pháp biện chứng không thể đưa ra một ví dụ nào về phép biện chứng nào khác ngoài việc nước chuyển thành hơi nước, hay trừ nhân trừ thành cộng. Vấn đề áp dụng chủ nghĩa Marx vào trong khảo sát hiện tượng vật lý đã giữ vị trí nổi bật trong chuyên đề gần đây diễn ra ở Bombay. Sau khi đưa tới một bài thuyết trình về chủ nghĩa Marx, người nói, tình cờ là một nhà vật lý, đã phát biểu rằng trong khi chủ nghĩa Marx có ích trong việc nghiên cứu xã hội thì ứng dụng của nó vào khoa học là đáng nghi ngờ. Trong chừng mực mà người nói biết, không có một ví dụ nào về chủ nghĩa Marx giúp ích cho việc dẫn đường nghiên cứu.

Câu trả lời cho sự phê bình này một cách tự nhiên nằm ở việc xem xét kỹ lưỡng lại bản thân khoa học, trong sự vận động, sự phát triển của chúng và tương tác xã hội của chúng với quan điểm nhận thức rõ biểu hiện đặc trưng của nghiên cứu trong các khoa học này¹  . Ở đây chúng tôi khảo sát câu hỏi về tính áp dụng được của chủ nghĩa Marx trong môn toán học.

Ngoài việc góc nhìn Marxist cho phép ta xem xét toán học trong toàn cảnh riêng của nó như là sự nảy sinh từ cuộc đấu tranh của con người trong tự nhiên và do đó đưa sự hiểu biết sâu sắc vào trong cơ sở triết học xã hội của nó, thì chủ nghĩa Marx trực tiếp giúp việc khảo sát các vấn đề mới cả từ cấp độ nghiên cứu cá nhân hay có tổ chức, và giúp ích cho giáo dục toán học, trong trình bày và thuyết trình lý thuyết. Chủ nghĩa Marx cũng cung cấp một vũ khí giúp phân tích các điều kiện xã hội mà sự thay đổi đơn lẻ sẽ đảm bảo hiện thực hóa khả năng toán học trong xã hội và nghiên cứu ở quy mô lớn mà cần thiết, nếu như toán học được cứu ra khỏi sự khủng hoảng cơ sở hiện nay.

Chúng ta bắt đầu bằng việc phát biểu rằng chủ nghĩa Marx trở thành một 'vũ khí của khoa học' chính là bởi vì nó không phải là một triết học đứng trên mọi khoa học và khẳng định đặt cơ sở hệ thống vũ trụ trên các nguyên lý khác với những cái đã được dùng trong nghiên cứu khoa học. Nó rút ra các nguyên lý và kết luận chính là từ bản thân khoa học, nó là tổng quát hóa của khoa học, và tiếp tục được làm giàu thêm nhờ tiến bộ khoa học. Nó "tổng quát hóa từ khoa học các khái niệm về quy luật thay đổi và phát triển biểu hiện trong tự nhiên và xã hội; và trong việc khám phá ra những quy luật tổng quát nhất, các quy luật của phép biện chứng, nó cung cấp cho khoa học một công cụ lý thuyết, một phương pháp, cho việc tiến hành nghiên cứu của họ và cho việc phát biểu hệ thống lý thuyết các quy luật chuyển động có hiệu lực trong các lĩnh vực riêng của họ."

Phương pháp biện chứng mà Marx và Engels đặt nền móng bao gồm việc xem xét sự vật và quá trình không tồn tại một cách không có liên hệ, và độc lập với nhau, mà là "liên hệ hữu cơ với nhau, phụ thuộc và xác định lẫn nhau". Do đó, không hiện tượng nào có thể hiểu được nếu chỉ xét đơn lẻ bản thân nó, mà chỉ nếu được xét trong sự liên hệ không thể tách rời với các hiện tượng xung quanh, và phụ thuộc vào hiện tượng xung quanh. Thay đổi nằm trong bản chất của sự vật. Vì vậy, các hiện tượng cần phải được xét "không chỉ từ quan điểm của sự liên hệ và phụ thuộc lẫn nhau của chúng, mà còn từ lập trường về chuyển động của chúng, sự thay đổi và phát triển, sự hình thành và suy tàn của chúng". Sự phát triển không phải luôn luôn liên tục, nhưng có những bước nhảy mà ở đó sự thay đổi về chất chuyển thành 'sự thay đổi chất căn bản và mở'. Các mâu thuẫn nội tại là cố hữu trong tất cả các sự vật và hiện tượng của tự nhiên. Sự phát triển là cuộc đấu tranh của các mặt đối lập, và "điều kiện cho việc hiểu các quá trình phát triển là phải nhận ra các ... mâu thuẫn, loại trừ lẫn nhau,  các xu hướng đối lập trong tất cả các hiện tượng và quá trình của tự nhiên, bao gồm cả tinh thần và xã hội...".

Nhìn toán học trong chuyển động của nó tức là quay lại lịch sử và nhìn nó xuất hiện với nhu cầu của người chăn nuôi nguyên thủy để theo dõi gia súc của anh ta, hoặc với những cố gắng đầu tiên của người làm ruộng để theo dõi những ngày trôi qua. Biểu thị gia súc bởi các hòn sỏi hay những ngày trôi qua bởi các vết khía trên vỏ cây chính là thực hiện những động tác đầu tiên của trừu tượng toán học, ở đó, người ta trừu tượng những gì chung giữa một cặp gia súc, và một cặp viên đá hoặc một cặp ngày với một cặp vết khía. Như vậy, "... đếm không chỉ yêu cầu đối tượng có thể được đếm, mà còn cả khả năng loại bỏ tất cả các tính chất của đối tượng được xét ngoại trừ con số của chúng, và khả năng này là kết quả của sự tiến hóa lịch sử lâu dài dựa trên kinh nghiệm."² Các số tự nhiên rất có ích đối với cuộc sống (nhà triết học tư sản băn khoăn tại sao toán học thuần túy có ứng dụng trong thế giới thực) bởi vì chúng được trừu tượng hóa từ các tình huống cuộc sống. Như Engels đã nói,

Đó là cách mọi thứ xảy ra trong xã hội và Nhà nước, và bằng cách này, không phải cách khác, toán học thuần túy sau đó được áp dụng vào thế giới, mặc dù nó được mượn từ chính cái thế giới đó, và chỉ biểu diễn một phần các hình thức liên hệ của nó, và cũng chỉ bởi điều đó mà toán có thể áp dụng được.³

Có rất nhiều công trình nghiên cứu lịch sử toán học trong  quan hệ qua lại và tác động xã hội của nó⁴. Các số tới tiếp theo sau các số tự nhiên $1,2,3,4...$ không phải là các số nguyên âm $-1, -2, -3, -4, ...$ là những số đơn giản về mặt logic, mà là các phân số xuất hiện cùng với việc đo đạc. Lịch sử của khái niệm số, từ số tự nhiên qua phân số, số nguyên âm và số 0 tới số phức, bản thân nó là một minh họa của luận đề Marxist về sự vận động qua "khẳng định, và mâu thuẫn, mỗi một mâu thuẫn được giải quyết dẫn tới một sự tổng hợp giàu có hơn". Ví dụ, rõ ràng các số tự nhiên được dùng để đếm luôn luôn có thể cộng số này với số khác, và số nhỏ hơn luôn luôn có thể được trừ từ số lớn hơn. Như vậy, 7 trừ 5 là sự trừu tượng hóa của các phép tính kiểu như lấy đi 5 quả chuối từ 7 quả chuối. Nhưng phép tính toán học 5 trừ 7 lại không biểu diễn bất kỳ trừu tượng nào, bởi vì lấy đi 7 quả chuối từ 5 quả chuối là tự mâu thuẫn. Nhưng khi được nâng từ trình độ các số tự nhiên lên trình độ các số nguyên, đây là một phép tính hoàn toàn hợp lệ, và 5 trừ 7 là bằng -2. Đúng là đã mất hàng nghìn năm để khái niệm này được rút ra ở một trình độ cao hơn. Stifel là người nhận ra các số âm là số nhỏ hơn số 0, nhưng vẫn không thể nhất trí với bản thân ông về những "con số vô lý" này vào năm 1553. Descartes thì coi các số này là "số sai lầm" . Tuy nhiên,  những "con số vô lý" này ngày nay hoàn toàn được hợp nhất trong hệ thống số và các cậu bé 13 tuổi ngày nay xử lý dễ dàng với các con số này.

            Những "mâu thuẫn" tương tự cũng xảy ra trong sự phát triển của số phức. Nếu ta lấy bất kỳ số thực nào và bình phương nó lên, ta sẽ nhận được một số dương hoặc số 0. Như vậy $(+2)^2=4$ và $(-2)^2= 4.$ Tức là không có một số thực nào mà bình phương của nó có thể bằng âm 4. Trong thực tế thì chúng ta thực hiện các quan sát cho nhiều lập luận trong số học rằng một điều gì đó là đúng bởi vì bình phương không thể là số âm. Nhưng chính quy luật này của số thực bị phủ định khi chúng ta đi vào lãnh địa của các số phức. Bởi vì, ở đây ta bắt gặp những số phức mà bình phương của nó là số âm. Lại một lần nữa, sự vô lý này được hấp thụ, nhưng để làm điều đó, người ta phải đi tới một trình độ nhận thức cao hơn, ở đó, số phức là một cặp số thực với một quy tắc rất nhân tạo cho phép nhân.

            Lịch sử khái niệm vi phân (còn gọi là vô cùng bé, N.D. chú thích thêm) là một minh họa khác cho sự vận động biện chứng của các ý tưởng trong toán học. Các vấn đề về đường đạn, thủy học và đi biển được đặt ra từ nhu cầu thực tiễn của châu Âu thế kỷ 17, đòi hỏi sự nghiên cứu kỹ lưỡng các biến đổi cơ học, tác động của sự thay đổi nhỏ ở một đại lượng lên một đại lượng khác. Khái niệm vi phân là sự trừu tượng hóa của sự thay đổi rất nhỏ. Một sự thay đổi nhỏ ở đại lượng $x$ được ký hiệu là $dx$ và thừa nhận rằng $dx$ nhỏ hơn bất kỳ độ lớn được gán trước giá trị (tức là số dương). Ta có thể trích dẫn đoạn văn của Engels về các vi phân $dx$ và $dy$ ở đây:

Ví dụ, trong một bài tính nọ, tôi có hai biến số $x$ và $y$ trong đó, nếu một số biến đổi đi thì số kia không thể không biến đổi theo một tỷ số nhất định trong mỗi trường hợp. Tôi làm cho $x$ và $y$ trở thành những số vi phân, nghĩa là tôi giả định $x$ và $y$ là nhỏ vô hạn đến nỗi so với bất cứ một lượng thực nào, dù nhỏ đến mấy đi nữa, thì $x$ và $y$ cũng vẫn biến mất đi, đến nỗi $x$ và $y$ không còn gì hết, ngoài cái tỷ số của chúng đối với nhau, một tỷ số không có một cơ sở nào có thể gọi là cơ sở vật chất được cả, một tỷ số về lượng mà không có một số lượng nào cả. Như vậy, $\dfrac{dy}{dx}$ tỷ số của hai vi phân $x$ và $y,$ sẽ là $=\dfrac{0}{0},$ nhưng $\dfrac{0}{0}$ được coi như là biểu thức của $\dfrac{y}{x}.$ Tiện đây tôi chỉ nói thêm rằng cái tỷ số ấy giữa hai lượng đã biến mất đi, cái lúc xác định được là chúng biến mất đi đó, chính là một mâu thuẫn, nhưng điều đó không làm cho chúng ta lúng túng, cũng như trong gần hai trăm năm nay toán học nói chung đã không hề vì thế mà lúng túng. Như vậy, phải chăng không có nghĩa là tôi đã phủ định $x$ và $y,$ nhưng không phải phủ định đến mức là không quan tâm gì đến nó nữa như lối phủ định của phép siêu hình, mà là phủ định theo một lối tương ứng với trường hợp đã định. Như vậy là thay cho $x$ và $y,$ tôi đã có cái phủ định của chúng, tức $dx$ và $dy$ ở trong công thức, hay các phương trình trước mặt tôi. Lúc đó tôi tiếp tục làm tính với các công thức ấy, tôi coi $dx$ và $dy$ như những số thực tuy phải phục tùng một vài quy luật ngoại lệ, và đến một mức độ nào đó, tôi phủ định cái phủ định nghĩa là tôi chuyển công thức vi phân thành tích phân, và thay thế cho $dx$ và $dy,$ tôi lại có được các số thực $x$ và $y,$ nhưng lúc đó, không phải là tôi ở vào chỗ mà tôi đã xuất phát, trái lại, tôi đã giải đáp được bài toán mà hình học và đại số thông thường có lẽ đã nát óc ra mà cũng không giải quyết nổi.⁵

Ở đây, Engels đã chỉ ra các vận động mâu thuẫn bên trong tính toán vi phân ở thời của ông. Tuy nhiên, lý thuyết các vi phân bản thân nó đi qua một loại vận động cao hơn mà tôi sẽ mô tả bây giờ.

                  Mâu thuẫn đã làm phiền toàn bộ toán học trong gần 200 năm dẫn tới sự "phủ định" bản thân lý thuyết vi phân. Kể từ thời của Newton và Leibniz, các nhà vật lý và triết học đã tranh cãi về việc phải chăng đường thẳng số thực chứa vô hạn các đối tượng nhỏ được gọi là vi phân. Những cú đánh mạnh của giải tích đã cho thấy người ta có thể nhận được các kết quả đáng tin cậy bằng cách sử dụng các vi phân. Toán học đã hưng thịnh bất chấp các nhà triết học. Nhưng trong suốt thế kỷ 19, khi các tiên đề về số thực được thiết lập, một điều rõ ràng là sự tồn tại của các vi phân trở thành mâu thuẫn với các tiên đề này. Phải làm gì bây giờ? Câu trả lời là vứt bỏ các vi phân. Augustin Cauchy đã thay khái niệm giới hạn cho khái niệm vi phân, và Karl Weierstrass đã mở rộng công việc của Cauchy và định nghĩa giới hạn theo các số thực. Chính cách tiếp cận Cauchy-Weierstrass tới giải tích được dạy học phổ biến ngày nay. Nó hoàn toàn phủ định lý thuyết các vi phân và đặt toàn bộ giải tích lên "đôi vai của đường thẳng số thực"⁶.

            Tuy nhiên, trong thập kỷ trước, Abraham Robinson đã phát triển một lý thuyết nhất quán cho các vi phân. Lý thuyết mới này được gọi là "giải tích không chuẩn mực" mang trở lại các vi phân, nhưng ở một dạng cao hơn. Ý tưởng cốt lõi là xét các dãy số thực, các dãy hằng số x, x, x, x, ... ký hiệu số thực x chính thống và một dãy số ví dụ như là 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... ký hiệu cho các vi phân⁷. Việc kiến thiết này là có thể bởi vì các tiên đề số thực được thỏa mãn bởi vô hạn các đối tượng. Bởi vì, theo "định lý bất toàn" của Gödel (sẽ bàn sau), các tiên đề sẽ để lại các mệnh đề mở có thể đúng trong mô hình này và sai trong mô hình khác. Từ quan điểm của lý thuyết các vi phân, việc phủ định đã bị phủ định.

            Nền văn minh đòi hỏi nền tảng nông nghiệp và nền nông nghiệp trên các đồng bằng của các con sông có vấn đề riêng của nó. Các sông như sông Nile nước tràn ngập hai bên bờ, và xã hội được giới thiệu vấn đề phân chia ranh giới và đo đạc đất đai. Hình học, theo từ nguyên học nghĩa là đo đất (hình học tiếng Anh là geometry và trong đó geo = đất, metry = đo, N.D. chú thích thêm), là một tập hợp các quy tắc kinh nghiệm, là "lời giải của con người đối với vấn đề mà họ tự đặt ra". Sẽ không thể nào hiểu được sự phát triển của phương pháp tiên đề trong hình học cũng như nhiều vấn đề đa dạng mà hình học đề xuất cho các nhánh khác của toán học, nếu chúng ta cố gắng nghiên cứu toán học một cách riêng lẻ, tách khỏi môi trường xã hội mà nó đã nảy sinh trong đó.

            Xã hội Hy Lạp về cốt lõi là một xã hội nô lệ và buôn bán đứng đầu bởi giai cấp quý tộc. Cấu trúc xã hội này đã để lại dấu vết của nó trong toán học. Trong một xã hội nơi mà giai cấp thống trị, những người cũng có cái thú vui làm "nhà tư tưởng", phụ thuộc hoàn toàn vào những người nô lệ cho từng chút công việc thủ công, không có gì ngạc nhiên khi sự tôn trọng được gắn chặt với các công việc đòi hỏi lượng ít nhất thao tác tay chân và lượng trí óc nhiều nhất. Để chia đôi một góc, người ta không được dùng thước đo góc, thậm chí kể cả trong bài thi SSC ngày nay, mà phải sử dụng com-pa và thước kẻ (và nhắc bạn rằng, thước kẻ không phải là để đo đạc mà chỉ cho phép bạn vẽ đường thẳng mà thôi). Điều này và một đống các "phép dựng hình bằng compa và thước kẻ" cũng như các câu hỏi kiểu chia ba một góc đã phải đợi tới 2 thiên niên kỷ để có được câu trả lời, chúng ta nợ những người Hy Lạp và ý thức tôn trọng của họ trong việc dựng hình.

            Những người Hy Lạp cũng cho chúng ta phương pháp tiên đề. Sự xa lạ của giới tinh hoa Hy Lạp với hiện thực vật chất đã dẫn họ tới việc họ từ chối giá trị của hiện thực này, và cố gắng khảo sát trong thế giới lý tưởng. Như Jacques Chapelon đã diễn tả điều đó,

Cấu trúc của xã hội Hy Lạp là cơ sở vật chất cho sở thích của người Hy Lạp đối với trừu tượng hóa và lý luận. Thực tế đấy chính là cơ sở cho sự duy lý của họ, sự tin chắc của họ vào sức mạnh của lý luận thuần túy để đạt được chân lý và kỹ thuật chứng minh đáng ngưỡng mộ của họ.⁸

Lý luận suy diễn bao gồm việc đưa ra lý lẽ trong một chuỗi các mệnh đề được sắp xếp sao cho người đọc thấy bản thân anh ta buộc phải xét từng mắt xích lập luận là đúng, khi anh ta đã thừa nhận chân lý của những mắt xích trước đó trong lập luận. Như vậy, điều kiện cốt lõi trong việc áp dụng lý luận suy diễn là tính chân lý của các tiền đề. Bởi vì ta không thể lùi vô hạn được, nên cần có những mệnh đề đầu tiên là điều tự nhiên, tức là cần những mệnh đề mà tính chân lý của nó cần phải được thừa nhận mà không có chứng minh. Những cái này được gọi là tiên đề hoặc định đề. Xuất phát từ các định đề, người ta chứng minh các mệnh đề khác, được gọi là các định lý. Đây chính là cấu trúc chung của toán học - dạng tiên đề.

            Sự tiến triển của giải tích ở thế kỷ 19 và sự phát triển của các hình học phi Euclid đã đem tới cho các nhà toán học những cấu trúc hấp dẫn. Điều này thúc đẩy làm chặt hơn hình thức tiên đề. Các tiên đề là về các thực thể toán học. Một vài thực thể được định nghĩa. Nhưng do định nghĩa một thuật ngữ bao gồm sử dụng các thuật ngữ khác, quá trình phải bắt đầu ở đâu đó, với các "thuật ngữ không được định nghĩa". Các mệnh đề được liên kết với nhau  bởi các quy tắc logic mà thôi, tất cả các dấu hiệu trực giác được loại bỏ một cách có chủ ý.

            Với hình thức đặc biệt trừu tượng, các thuật ngữ nguyên thủy, định đề, định lý, toán học đã bước vào thế kỷ 20. Do các định lý được suy ra từ các định đề thuần túy bằng các quy tắc logic và không dùng bất kỳ tính chất hiển nhiên trực giác của các thực thế vật lý, mà các thuật ngữ nguyên thủy của chúng là một sự trừu tượng hóa, nên các nhà logic học được dẫn tới quan niệm tăng cường về sự tồn tại độc lập của toán học với thế giới vật chất. Nó dẫn các nhà triết học tư sản tới đồng ý với lời châm biếm của Bertrand Russell: "Toán học là khoa học mà ở đó người ta không biết là đang nói về cái gì cũng như điều họ nói có đúng hay không." Như Engels đã nói:

Cũng như mọi lĩnh vực của tư duy, ở một giai đoạn nhất định của sự phát triển, các quy luật, vốn được rút ra từ thế giới, nay được sử dụng để chống lại thế giới như một thứ gì đó độc lập, như các quy luật tới từ bên ngoài và thế giới phải tuân theo chúng.⁹

Luận đề Russell-Whitehead, được viết tỉ mỉ thành 3 tập của Bộ Principia Mathematica (các nguyên lý toán học),  cho rằng toán học là sự mở rộng của logic. Frege vào cuối thế kỷ 19 cũng cho rằng toán học là sự tiếp tục của logic. Ông định nghĩa các số bằng khái niệm logic về lớp. Bộ Principia định nghĩa số theo Frege là một "lớp các lớp" (ví dụ số 2 sẽ ứng với tất cả các lớp có hai phần tử). Các tiên đề và định nghĩa được thực hiện tỉ mỉ sao cho các tính chất số học của các số cũng có thể được suy ra từ logic của các lớp và quan hệ.

            Tuy nhiên, có hai thiếu sót lớn trong hệ thống. Một trong các tiên đề cần thiết là "Tiên đề về vô cùng". Tiên đề này khẳng định rằng có vô hạn thứ trong thế giới. Bây giờ, đối với một chương trình muốn rút ra toán học "từ bên ngoài", một tiên đề kiểu như vậy phát biểu về một đặc điểm của vũ trụ thì thực sự là sai sót nghiêm trọng. Sự bất bình thứ hai có tính quyết định. Russell định nghĩa toán học là một tập hợp các mệnh đề có dạng p kéo theo q. Toán học được cho là sự bày ra của các hệ quả hình thức của các nguyên lý cần thiết được thiết lập và hoàn thiện một lần cho tất cả.

            Bài báo của Kurt Gödel công bố năm 1931 về các "mệnh đề không thể quyết định được" đã đem tới sự bối rối. Gödel đã chứng minh rằng, cho dù có lấy bao nhiêu tiên đề cho số học, ta sẽ luôn tìm thấy những mệnh đề mà không thể được chứng minh trong hệ tiên đề đó. Các nhà toán học từ lâu đã quen với các mệnh đề đúng với tất cả các số đã được thử nhưng vẫn chưa thể chứng minh được. Một trong số đó là giả thuyết Goldbach phát biểu rằng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố, ví dụ, 100= 47+53. Điều mà Gödel đã chứng minh là toán học luôn bị quấy rầy bởi các kết quả trêu ngươi mà không thể chứng minh được chúng từ các tiên đề mà chúng ta lựa chọn. Nếu số học là nhất quán thì khi đó nó không đầy đủ. Không tập hợp tiên đề nào là đủ để quyết định hay chứng minh tất cả các định lý về các số.

            Chứng minh của Gödel "không nói rằng (như một số người hăng hái phi lý đã dựng ra) logic và toán học chỉ cung cấp các phương tiện tính toán sai lầm và lý luận luôn luôn sụp đổ. Mà đúng hơn là, nó chứng tỏ rằng không sự phát triển kỷ thuật nào của logic và toán học có thể đại diện cho mục đích cuối cùng, thành tựu cuối cùng của tính phổ biến và sự hoàn hảo hình thức."¹⁰

            Quan điểm Marxist cho phép chúng ta thấy rằng phương pháp tiên đề bản thân nó là một sản phẩm của sự phát triển toán học và phép chứng minh đã không phải luôn luôn sử dụng phương pháp này. Chân lý toán học được trừu tượng hóa từ thế giới hiện thực và rất thường xuyên chứng minh nghĩa là đặt các đối tượng theo một cách mà chân lý của việc phát biểu là hiển nhiên. Một phương pháp như vậy là chứng minh bằng hình. Ví dụ chứng minh tổng của n số lẻ 1+3+5+ ... là n², người ta đặt các dấu chấm vào một tam giác đầu tiên với một chấm ở đỉnh, sau đó 3 chấm ở dưới, rồi tiếp tục 5 chấm, và cứ như vậy. Khi đó, người ta cắt tam giác theo chiều thẳng đứng để tạo thành một hình vuông có cạnh n.

            Như vậy, không có gì ngạc nhiên khi phương pháp tiên đề bản thân nó có hạn chế và cần được mở rộng.

            Sự phát triển của toán học do đó phải giống như sự phát triển của các khoa học kinh nghiệm mà toán học phục vụ, theo nghĩa là sự truy tìm không ngừng phát mình và phám phá công nghệ.

            Tuy nhiên, sự khác biệt giữa các mệnh đề của các khoa học và các mệnh đề toán học và logic cần phải được ghi nhớ rõ ràng. Nhà triết học duy tâm cho rằng toán học và logic  "là một sự khảo sát vào trung tâm và bản chất bất biến của sự vật, có thật và có thể... toán học đưa chúng ta đi xa hơn cái là con người, đưa vào khu vực của cái tất yếu tuyệt đối, mà không chỉ có thế giới hiện tại, tất cả các thế giới có thể đều phải tuân theo."¹² Ở đây, Russel đã mắc một lỗi mà Engels đã nói, đó là xây dựng những quy luật chống lại thế giới, như "một cái gì đó độc lập, như là các quy luật đến từ bên ngoài và thế giới phải tuân theo", trong khi các quy luật thực ra được trừu tượng hóa từ thế giới.

            Logic và toán học xử lý các phép toán bao hàm trong sự phát biểu, lý luận, đếm, đo đạc, và xác định vị trí các đối tượng của con người trong không gian và thời gian. Đây là những đối tượng phân tích của họ. Lý luận và tính toán là các kỹ thuật cho việc khảo sát các đối tượng quanh chúng ta. Các phát biểu toán học và logic học là kết quả của việc khảo cứu bản thân các kỹ thuật này. Như Maurice Cornforth đã diễn tả điều đó:

Cái được gọi là "mệnh đề" logic và toán học hoàn toàn không phải mệnh đề, theo nghĩa của từ áp dụng được cho các phát biểu quan sát và cho các giả thiết của khoa học kinh nghiệm. Chúng không phải là các mệnh đề đúng với mọi thứ mà không có chất lượng, như được phân biệt từ các mệnh đề của khoa học kinh nghiệm đúng trong một lớp đặc biệt các sự vật có các tính chất đặc biệt. Sự phân biệt giữa cái là sự việc thực và cái tất yếu toán học hoặc logic học không nằm giữa các mệnh đề tổng quát, đòi hỏi sự xác minh kinh nghiệm, và các mệnh đề tuyệt đối tổng quát được chứng thực chỉ nhờ vào hình thức của chúng thôi. Sự phân biệt đúng ra nằm ở giữa các kết luận khảo sát sự vật (các kết luận đòi hỏi kiểm tra một cách kinh nghiệm, các kỹ thuật lý luận và tính toán được dùng để dẫn ra và trình bày chúng) và sự sửa soạn công phu và chứng thực, cho việc sử dụng trong các khảo sát như vậy, của bản thân các kỹ thuật đó.¹⁴

Bây giờ chúng ta tới với việc áp dụng chủ nghĩa duy vật biện chứng cho việc khảo sát các hiện tượng mới trong lĩnh vực đặc biệt của toán học. Như Engels đã nói,

Con người đã tư duy một cách biện chứng từ lâu trước khi họ biết phép biện chứng là gì, cũng như từ lâu người ta đã nói theo văn xuôi trước khi người ta có từ "văn xuôi".

Như vậy, nghiên cứu về chủ nghĩa duy vật biện chứng một cách tự nhiên không phải là điều kiện trước tiên cho làm nghiên cứu khoa học, cũng như một sự duy lý nhất quán không phải là tiên quyết để làm khoa học. Cũng như vậy, các quy luật biện chứng không thay thế cho quan sát thực tại và nghiên cứu cẩn thận  trong nhánh cụ thể của tri thức. Engels đã bác bỏ sự buộc tội của Dühring rằng Marx chỉ đơn thuần sử dụng quy luật biện chứng về lượng chuyển hóa thành chất để đi tới kết luận rằng một lượng tiền có thể chuyển thành tư bản nếu nó vượt quá một lượng tối thiểu nào đó. Engels phác thảo toàn bộ lý luận của Marx. Ông trích dẫn từ bộ Tư bản:

Ở đây, cũng như ở trong khoa học tự nhiên, sự đúng đắn của quy luật mà Hegel phát hiện ra được xác minh, đó là những thay đổi đơn thuần về lượng, tới một mức độ nhất định, sẽ chuyển hóa thành những sự khác nhau về chất. (nhấn mạnh của Engels)¹⁵

Chính là nhờ chủ nghĩa Marx cung cấp sự hiểu biết về tính phổ quát của thay đổi, bản chất của nó cũng như được biểu lộ ở các lĩnh vực tri thức khác nhau, người ta có được sự sáng suốt trong chiến thuật nghiên cứu. Paul Laberenne nói,

Nhờ chủ nghĩa Marx, việc giành được sự hiểu biết tốt hơn về các đặc điểm cốt yếu của cái có vẻ như là biểu hiện đặc trưng của nghiên cứu toán học và việc phát hiện ra nhịp điệu thực sự của các phát kiến vĩ đại trong tư tưởng toán học là khả thi.¹⁶

                  Người ta lấy một ý tưởng theo các hướng mà ở đó họ phải tìm các giải pháp và các kênh mà sự khảo sát được hướng tới. Đương nhiên, các kết luận cần được thực hiện tỉ mỉ, và được trình bày chừng nào mà nghiên cứu toán học hiện tại còn liên qua, dưới hình thức tiên đề. Ngoài các nhà khoa học như J. D. Bernal và J. B. S. Haldane, những người thú nhận rằng sự hiểu biết của họ về chủ nghĩa duy vật biện chứng đã giúp họ rất nhiều trong nghiên cứu của riêng họ, ta có thể bổ sung thêm các nhà toán học như Kolmogorov, Alexandrov và Schnirelman. Các nhà toán học này thường xuyên thừa nhận lợi ích mà họ nhận được từ sự hiểu biết của họ về chủ nghĩa Marx.

            Ở mức độ tổ chức hoạt động nghiên cứu, một sự hiểu biết về các nguồn gốc sâu xa của toán học trong sự tiến hóa của lịch sử loài người "dẫn tới nhìn nhận toán học ở một tầm nhìn tổng quát hơn và để làm cho khoa học này thích hợp với một chương trình rộng lớn mà ở đó, nó sẽ phát triển trong quan hệ gần gũi và trực tiếp với các nhu cầu của các khoa học khác và của xã hội, đồng thời không bao giờ hi sinh  sự kiến thiết cơ sở lý thuyết cần thiết và vĩ đại chỉ để cho các ứng dụng hữu ích ngay tức khắc."¹⁷

            Laberenne ám chỉ chương trình được phác thảo bởi giáo sư Colman của Viện toán học và cơ học Mátx-cơ-va. Sự khủng hoảng hiện tại của toán học chỉ có thể được giải quyết nếu các nhà toán học hướng công việc của họ nhiều hơn theo các phương châm sau:

1.      Nghiên cứu sự tổng hợp giữa tính liên tục và không liên tục; nghiên cứu này ngày càng trở nên bức thiết do những tiến bộ gần đây của lý thuyết lượng tử. Các nỗ lực đã thực hiện theo hướng này trong lý thuyết tập hợp đã xuất hiện, tuy vậy, chưa thật tương xứng, bởi vì chúng còn quá trừu tượng và được quan niệm từ góc nhìn quá duy tâm (sử dụng từ theo nghĩa của Marx và Engels). Colman thấy rằng, trong bản phân tích cuối cùng, sự thụt lùi chung của hệ tư tưởng tư sản là nguyên nhân của tính duy tâm của nhiều nhà toán học đương đại, mà đối với họ, ngành toán dường như là một cuộc chơi. Ông nói, hệ tư tưởng này là tiến bộ ở đầu thế kỷ 19, nhưng ngày càng trở nên phản động do lo sợ giai cấp vô sản, và bây giờ duy trì một thái độ nực cười đối với khoa học và tiến bộ.

2.      Nghiên cứu về sự tổng hợp giữa khía cạnh giải tích hoặc "tĩnh tại" của các quy luật với khía cạnh "năng động" hay thống kê của chúng. Phép tính xác suất dường như quá tách rời khỏi phần còn lại của toán học mặc dù nó đang dần có vai trò lớn hơn trong mọi sự áp dụng của toán học.

3.      Quay trở lại với cái cụ thể, cái đã bị thờ ơ một cách quá mức để nhường chỗ cho sự tổng quát ngày càng không phân hóa.

4.      Cũng như vậy, một sự quay trở lại với các nguồn gốc lịch sử của nhiều khái niệm, điều đó sẽ giúp chúng ta tránh khỏi việc sa lầy vào các ý kiến cho rằng các phát minh ở mức độ nào đó là "không có lý do", một ý kiến có hại cho sự phát triển phương pháp của khoa học.

5.      Nỗ lực khắc phục khoảng trống giữa lý thuyết và thực tiễn. Khoảng trống này ngày càng rộng hơn là một hệ quả của sự chuyên môn hóa cực điểm và cũng bởi sự coi thường ứng dụng của các trí thức tư sản.

6.      Khảo cứu biện chứng kỹ lưỡng về vấn đề cơ sở toán học, điều này kéo theo sự đấu tranh chống lại chủ nghĩa trực giác của Weyl và Brouwer với các xu hướng thần bí và hoài nghi luận của chủ nghĩa hình thức của Russel.

Giáo sư Colman đề xuất:

Từ quan điểm lịch sử, một nghiên cứu chi tiết về sự phát triển của toán học đương đại ở thời đại chúng ta, thời đại chủ nghĩa đế quốc, nhằm hiểu rõ hơn các nguyên nhân của các thiếu sót và nhược điểm của toán học đương đại; nhằm mục đích củng cố ràng buộc giữa lý thuyết và thực tiễn, một lượng tăng lớn các viện nghien cứu toán áp dụng vào công nghiệp, nông nghiệp, địa hình học v.v. nơi các nhà toán học không ngừng giải quyết các bài toán cụ thể, đòi hỏi ứng dụng đồng thời của nhiều ngành khác nhau của khoa học (điều này cũng chiến đấu với xu hướng chuyên môn hóa).¹⁸

Sẽ không thích hợp ở đây nếu đi vào chi tiết kỹ thuật của cuộc "khủng hoảng" mà Colman đề cập. Tuy nhiên, cuộc khủng hoảng hiện tại trong cơ sở toán học có thể được đánh giá dễ dàng từ sự bi quan của những nhà triết học toán học tư sản hàng đầu. Ví dụ Paul Cohen phát biểu rằng ông đã đi tới quan điểm hình thức chủ nghĩa trong triết học toán học và thú nhận rằng điều này gần như không phải là một lựa chọn gan dạ, bởi vì phần lớn các nhà toán học nổi tiếng, ở hình thức này hay khác, đã vứt bỏ quan điểm duy thực. Bây giờ, quan điểm duy thực và hình thức chủ nghĩa trong triết học toán học là gì vậy? Cả hai đều là cách nhìn tĩnh tại kiểu tư sản về bản chất toán học. Như Cohen đã diễn giải,

.... trong triết học duy thực, người ta một lòng một dạ chấp nhận toán học truyền thống ở giá trị bề mặt. Quan điểm duy thực có thể là cái mà phần lớn các nhà toán học ưa thích dùng. Không phải là cho tới khi anh ta nhận thức được những khó khăn trong lý thuyết tập hợp mà anh ta thậm chí bắt đầu đặt câu hỏi. Nếu những khó khăn này đặc biệt làm cho anh ta khó chịu, anh ta sẽ xông vào chỗ trú của chủ nghĩa hình thức, trong khi quan điểm thông thường của anh ta là ở đâu đó giữa hai quan điểm đó, cố gắng thưởng thức điều tốt nhất của hai thế giới.¹⁸

                 Theo quan điểm chủ nghĩa hình thức mà Hilbert đặt nền móng, "người ta coi toán học là một cuộc chơi hình thức và chỉ lo lắng về vấn đề nhất quán." Hay nói cách khác, người ta coi toán học là một cuộc chơi dùng một vài biểu tượng nào đó. Những biểu tượng này được nhắm dùng trong một tập hợp cụ thể các cách thức, có thể được gọi là các quy tắc của trò chơi. Nếu người ta đặt các biểu tượng này lại với nhau theo các quy tắc này, họ sẽ nhận được các xâu biểu tượng được gọi là định lý. Họ quan tâm tới hình thức các biểu tượng này xuất hiện, hơn là các sự vật mà các biểu tượng này ám chỉ. Cohen duy trì quan điểm rằng chương trình hình thức chủ nghĩa của Hilbert vẫn là quan điểm hoàn toàn chính xác về các vấn đề này.

            Là người theo quan điểm chủ nghĩa hình thức, Cohen thú nhận rằng đó là một lựa chọn mà theo cùng với nó là ít nhiều sự ảnh hưởng nặng ký. Cohen đồng ý rằng cái nhược điểm vĩ đại nhất của quan điểm hình thức chủ nghĩa là nó không thể giải thích làm thế nào mà các tiên đề thuần túy hình thức có thể cấu thành một lý thuyết tập hợp "thành công". Cohen thử cho thấy bằng cách nào người ta có thể nắm được ý của các chứng minh nhất quán. Nhưng khi ông tới với các bản số lớn, nhưng số các điểm của một đường thẳng, ông nói "trực giác của chúng ta có thể vẫn chưa đủ phát triển hoặc ít nhất ta không truyền đạt được nó"²⁰. Sự thoái hóa của triết học toán học tư sản được thấy rõ ở trong câu phát biểu sau từ nhà triết học toán học hàng đầu:

Tuy nhiên, tôi cảm thấy đây là một nhiệm vụ có ích, phát triển cảm giác thần bí của chúng ta để cho các tiên đề được chấp nhận. Ở đây, tất nhiên chúng ta phải bỏ hoàn toàn chương trình khoa học và quay trở lại một trình độ hầu như bản năng, na ná giống với tinh thần mà con người bắt đầu nghĩ về toán học.²¹

                 Cohen kết thúc với giọng điệu tiêu biểu cho sự bi quan của tất cả những cây bút kiểu này, và nếu nó hé lộ cho ông ta rằng toán học hơi giống với các khoa học kinh nghiệm, thì đó là một thỏa hiệp bi thảm mà ông phải thực hiện với sự phản bội bởi chính khoa học "chân chính" :

Độc giả sẽ cảm nhận một cách không hoài nghi sự bi quan nặng nề mà nó lan tràn khắp các thái độ này. Tuy nhiên, toán học có thể được xem giống như lao động kiểu Prô-mê-tê, tràn đầy sức sống, năng lượng, ngạc nhiên vĩ đại, chứa đựng hạt giống tự nghi ngờ mạnh mẽ.... Đó là định mệnh của chúng ta, sống với các nghi ngờ, để theo đuổi chủ đề mà chúng ta không chắc chắn về sự tuyệt đối của nó, hay một cách ngắn gọn, để nhận ra rằng khoa học "chân chính" duy nhất là bản thân nó có cùng bản chất  định mệnh, có lẽ kinh nghiệm cũng giống như tất những công việc khác của loài người.²²

                 Việc nghiên cứu các vấn đề cơ bản của toán học một cách biện chứng chưa bao giờ là cấp thiết như vậy. Quan điểm tĩnh tại không đứng vững. Như vậy, không lý thuyết nào về tập hợp có thể đủ sức bỏ qua sự kiện rằng các tập hợp là các xây dựng và trừu tượng hóa trí óc từ các tập hợp cụ thể mà chúng ta gặp trong đời thực, và cũng như sự kiện rằng các phần tử của một tập hợp theo nghĩa nào đó được cho trước khi có sự xây dựng tập hợp. Quan điểm tĩnh tại bỏ qua khía cạnh năng động của các tập hợp. Một nỗ lực can đảm theo hướng này là bài báo của Lawrence Pozsgay²³ có bao gồm khía cạnh này của các tập hợp, và chấp nhận nguyên lý:

Nếu s là một tập bất kỳ và x là một phần tử của s, khi đó, x phải được cho trước việc kiến thiết s.

Chỉ có thể thông qua cách tiếp cận duy vật biện chứng mà ta có thể hi vọng đạt được sự hiểu biết về các vấn đề nằm trong cơ sở của toán học.

Chú thích:

1 J D Bernal, Science in History, Watts and Co., London, 1954.

2 Engels, Anti-Duhring, Progress Publishers, Moscow, 1969.

3 Ibid.

4 J B S Haldane, The Marxist Philosophy and the Physical Sciences, George Allen and

Unwin. See also Lancelot Hogben's Mathematicsfor the Millions.

5 Engels, op. cit.

6 A Steen Lynn, "New Models of the Real Number Line", Scientific American, August

1971.

7 Ibid.

8 Engels, op. cit.

9 Ibid.

10 Maurice Cornforth, Marxism and the Linguistic Philosophy, Lawrence and Wishart,

London.

11 Ibid.

12 Bertrand Russell, The Study of Mathematics", Mysticism and Logic and other Essays.

13 Engels, op. cit.

14 Maurice Cornforth, op. cit.

15 Engels, op. cit.

16 Paul Laberenne, "Marxism and Mathematics", Great Currents of Mathematical Thought.

17 Ibid.

18 Ibid.

19 Paul Cohen, "Comments on the Foundation of Set Theory", Axiomatic Set Theory, (ed),

Dana S Scott.

20 Ibid.

21 Ibid.

22 Ibid.

23 Lawrence Pozsgay, "Liberal Intuitionism as a Basis for Set Theory", Axiomatic Set

Theory.